La taille des arbres

11 12 2011

Pascal disait dans « Pensées » : «L’homme est un roseau, le plus faible de la nature, mais un roseau pensant». Cette citation nous rappelle que le roseau est le symbole de la faiblesse dans le monde végétal. Il est vrai que cette plante se plie aisément sous l’effet du vent. Or ce phénomène de fléchissement se rencontre que plus rarement chez les arbres. A l’instar du roseau, leurs troncs sont suffisamment solide pour les soutenir. Mais quel lien existe t-il entre la taille d’un arbre et le diamètre de son tronc ?

La réponse à notre problème a été donné par le physicien Thomas A. McMahon.  Celui ci est un des premier à s’être intéressé à la mécanique du monde vivant. Sur la question des arbres il a mesuré la taille et le diamètre de nombreuses espèces. Ces mesures sont représentées sur la courbe suivante :

Figure 1 : Hauteur des arbres en fonction du diamètre de leur tronc

Chaque point de cette courbe représente un arbre différent. Malgré la dispersion des données il est possible de tracer une droite qui les regroupe. Les plus petits arbres ont une hauteur de 1 m et les plus grand de 100 m. On remarque que pour varier d’un facteur 100 en hauteur, les arbres varient d’un facteur mille en diamètre (de 0,01 m à 10 m). En d’autres termes la loi de puissance qui relie la hauteur L des arbres à leur diamètre D est :

Loi

Comment expliquer une telle dépendance ?

Intuitivement on comprend que le diamètre d’un tronc doit être suffisant pour supporter le poids de l’arbre. Si le tronc est trop petit en comparaison avec la masse de l’arbre (qui augmente avec sa taille), celui ci va fléchir puis céder. En mécanique, le fléchissement d’une tige élastique sous une contrainte est appelé flambage. Ce phénomène a été très étudié car on le retrouve dans de nombreux domaines. Par exemple le flambage d’une perche de saut en hauteur intéresse les sportifs afin de stocker de l’énergie élastique qui leur permettra de franchir la barre.

L’étude du flambage d’une tige élastique a permis de montrer qu’il intervient à partir d’une contrainte seuil. Si la seule contrainte subie par la tige est celle de son propre poids, l’expression de ce seuil est la suivante :

buckling

où E est le module élastique de la tige et ρ sa masse volumique. On remarque immédiatement que la longueur critique au dessous de laquelle la tige ne se plie pas sous son propre poids dépend de son diamètre à la puissance 3/2. Le même exposant que la loi expérimentale précédente. Il est donc naturel de comparer cette longueur critique avec la hauteur réelle des arbres. C’est ce que fait McMahon en traçant la ligne continue sur la figure 1. On remarque que tous les arbres sans exception sont au deçà du seuil de flambage. Au regard du fonctionnement de l’évolution on comprend que les arbres qui dépassaient cette limite aient eu un désavantage évolutif et ne soient pas présent aujourd’hui. A l’inverse, une grande taille représente un avantage au sens de l’évolution. La hauteur des arbres s’éloigne donc peu de la courbe de la longueur critique de flambage tout en gardant une marge de sécurité. Ainsi on comprend pourquoi la taille des arbres suit la loi en puissance 3/2 donnée par le fléchissement d’une tige élastique.

La nature n’est pas la seule à devoir éviter le flambage. Les constructeurs d’éolienne considère ce phénomène pour éviter le fléchissement de ces structures.

Source : McMahon « Size and shape in biology », Science, New Series, Vol. 179, No. 4079. (Mar. 23, 1973), pp. 1201-1204. #


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4 responses

9 02 2012
steph

Je suis sur qu’il doit aussi exister une loi dans le règne animal, du côté des mammifères, non plus basée sur des caractéristiques mécaniques, mais sur des caractéristiques énergétiques. En effet, la production de puissance interne permettant de maintenir les corps chauds est grosso modo proportionnelle au volume des animaux tandis que leurs pertes sont surfaciques. Pas étonnant donc qu’il soit difficile pour les petits oiseaux de nos campagnes de résister aux froids du moments😉

28 02 2012
bdarbois

Excellent idée. McMahon traite aussi de ce sujet dans sont livre. Je serais ravi de m’y intéresser plus en détail pour un prochain article.

5 10 2013
Wluigi

J’arrive à la conclusion que H#D^(2/3) et pas H#D^(3/2)

12 01 2014
bdarbois

Bonjour,

Je suis parfaitement d’accord avec vous, désolé pour l’erreur.

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