Les alvéoles d’une ruche

2 06 2011

 « Ce qui distingue d’emblée le pire architecte de l’abeille la plus experte, c’est qu’il a construit la cellule dans sa tête avant de la construire dans la ruche. »

Karl Marx

Si Karl Marx oppose « le pire à architecte » à l’abeille ouvrière, c’est qu’il a été fasciné par la géométrie de leurs ruches. La reproduction et l’agencement du motif initial, l’alvéole, crée une structure original et unique dans la nature.

 A l’origine, les abeilles ouvrières construisent les ruches pour entreposer du miel et du pollen ou les oeufs et les larves. Cette construction est réalisée à partir de leur propre cire. La forme d’une alvéole est détaillée sur l’image suivante.

Comme on a pu le remarquer précédemment, l’entrée de l’alvéole (en bas de l’image) est un hexagone régulier d’environ 3 mm de côté. Mais ce qui est remarquable c’est la complexité du fond de l’alvéole (en haut de l’image). Il résulte de l’emboitement de trois losanges identiques, appelés rhombes. Cette complexité rend la forme de l’alvéole particulièrement singulière.

Pourquoi les abeilles construisent des ruches d’une telle complexité ?

La réponse semble être par souci d’économie de la cire. C’est-à-dire que les abeilles parviennent à construire les plus grandes ruches avec le minimum de cire possible. Le premier indice qui semble infirmer cette explication est l’épaisseur des parois. En effet, chaque alvéole est séparée par une paroi d’uniquement 300 micromètres. Le second indice est le coût de production de la cire en temps de travail. L’abeille a besoin de dix à onze kilos de miel pour produire un kilo de cire.

La contrainte d’économie permet d’expliquer la base hexagonale des alvéoles. Lors de la construction des ruches, afin d’occuper l’espace disponible, les abeilles commencent par paver un plan. Seulement trois polygones réguliers permettent de réaliser cette tache : le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone. Le théorème mathématique nommé « théorème du nid d’abeille » démontre que c’est le pavage hexagonal qui, pour une même surface pavée, possède le plus petit périmètre. Le pavage hexagonal est donc celui qui permet d’utiliser le moins de cire pour occuper une même surface.

Qu’en est t-il d’un pavage à base de polygones aux côtés irréguliers ? Le mathématicien hongrois Fejes Toth montra en 1943 que le pavage hexagonale reste plus économique. De même, l’utilisation de formes aux côtés courbes ne l’emporte pas vis-à-vis de l’hexagone régulier comme l’a démontré Thomes C. Hales en 1999.

Il reste cependant à s’interroger sur la présence des rhombes. La forme du fond des alvéoles permet leurs adossement pour doubler le plan comme on peut le voir sur la vue en coupe suivante :

Mais cette forme est elle encore la plus économique en cire ? La réponse est négative et c’est Fejes Toth qui a apporté un contre-exemple en 1964. Si le fond des alvéoles avait été constitué de deux hexagones et deux losanges, la quantité de cire nécessaire serait, à volume donné, 0,35 %. Ce pourcentage peut paraître faible mais il est significatif à l’échelle du gain effectué par le pavage hexagonal vis-à-vis du pavage carré par exemple.

En revanche, une fois la forme des rhombes adoptée, les angles qu’ils forment minimisent de nouveau le rapport surface sur volume. Le mathématicien Mac Laurin a montré que ce rapport était minimal pour des angles du losange de 109°28′ et 70°32′. Or ce sont exactement les valeurs expérimentales mesurées par Maraldi en 1712 sur les ruches de l’Observatoire de Paris.

Finalement, on comprend que l’homme ce soir inspiré des abeilles pour construire des structures alvéolaires. Ces structures permettent avec le minimum de matériel d’occuper un grand volume. Elles sont particulièrement intéressante pour le carton afin d’obtenir un matériau léger et résistant.

About these ads

Actions

Information

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s




Suivre

Recevez les nouvelles publications par mail.

%d blogueurs aiment cette page :